高中三角函数数学教案。
作为一名人民教师，往往需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。那么应当如何写教案呢？下面是小编帮大家整理的高中数学教案，欢迎大家分享。
高中三角函数数学教案 篇1
整体设计
教学分析
我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。
教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数幂，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值。后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时，激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫。
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质）等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值。
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持。
三维目标
1、通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质。掌握分数指数幂和根式之间的互化，掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。
2、掌握根式与分数指数幂的互化，渗透“转化”的数学思想。通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯，让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
3、能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。
4、通过训练及点评，让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美。
重点难点
教学重点
（1）分数指数幂和根式概念的理解。
（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质。
（3）运用有理指数幂的性质进行化简、求值。
教学难点
（1）分数指数幂及根式概念的理解。
（2）有理指数幂性质的灵活应用。
课时安排
3课时
教学过程
第1课时
作者：路致芳
导入新课
思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化，又怎样判断它们所处的年代？（考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的，第二个问题我们不太清楚）考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的。教师板书本节课题：指数函数——指数与指数幂的运算。
思路2.同学们，我们在初中学习了平方根、立方根，那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，这就是我们本堂课研究的课题：指数函数——指数与指数幂的运算。
推进新课
新知探究
提出问题
（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根据上面的结论我们又能得到什么呢？
（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？
（4）可否用一个式子表达呢？
活动：教师提示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题(2)的结论进行引申、推广，相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n次方根的概念，评价学生的思维。
讨论结果：(1)若x2=a，则x叫做a的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如：4的平方根为±2，负数没有平方根，同理，若x3=a，则x叫做a的立方根，一个数的立方根只有一个，如：-8的立方根为-2.
（2）类比平方根、立方根的定义，一个数的四次方等于a，则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a，则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a，则这个数叫a的六次方根。
（3）类比(2)得到一个数的n次方等于a，则这个数叫a的n次方根。
（4）用一个式子表达是，若xn=a，则x叫a的n次方根。WWW.DG15.com
教师板书n次方根的意义：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整数集。
可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出问题
（1）你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗？（多媒体显示以下题目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？4，±8，16，-32，32，0，a6分别对应什么性质的数，有什么特点？
（3）问题(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？
（4）任何一个数a的偶次方根是否存在呢？
活动：教师提示学生切实紧扣n次方根的概念，求一个数a的n次方根，就是求出的那个数的n次方等于a，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题(2)中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。
讨论结果：(1)因为±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分别是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
（2）方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。
（3）一个数a的奇次方根只有一个，一个正数a的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0.
（4）任何一个数a的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。
类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n次方根的性质：
①当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。
②n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。
③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字语言可用下面的式子表示：
a为正数：n为奇数，a的n次方根有一个为na，n为偶数，a的n次方根有两个为±na.
a为负数：n为奇数，a的n次方根只有一个为na，n为偶数，a的n次方根不存在。
零的n次方根为零，记为n0=0.
可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。
思考
根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况？
活动：教师提示学生对方根的性质要分类掌握，即正数的奇偶次方根，负数的奇次方根，零的任何次方根，这样才不重不漏，同时巡视学生，随机给出一个数，我们写出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意义，注意观察方根的形式，及时纠正学生在举例过程中的问题。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的四次方根为±2，-27的5次方根为5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它类似于na的形式，现在我们给式子na一个名称——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数。
如3-27中，3叫根指数，-27叫被开方数。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活动：教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号，充分让学生多举实例，分组讨论。教师点拨，注意归纳整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根据n次方根的意义，可得：(na)n=a.
通过探究得到：n为奇数，nan=a.
n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a
因此我们得到n次方根的运算性质：
①(na)n=a.先开方，再乘方（同次），结果为被开方数。
②n为奇数，nan=a.先奇次乘方，再开方（同次），结果为被开方数。
n为偶数，nan=|a|=a，-a，a≥0，a
应用示例
思路1
例求下列各式的值：
（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活动：求某些式子的值，首先考虑的应是什么，明确题目的要求是什么，都用到哪些知识，关键是啥，搞清这些之后，再针对每一个题目仔细分析。观察学生的解题情况，让学生展示结果，抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根，可按方根的运算性质来解，首先要搞清楚运算顺序，目的是把被开方数的符号定准，然后看根指数是奇数还是偶数，如果是奇数，无需考虑符号，如果是偶数，开方的结果必须是非负数。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
（4）(a-b)2=a-b(a>b)。
点评：不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础上，记准，记熟，会用，活用。
变式训练
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
点评：本题易错的是第(3)题，往往忽视a与1大小的讨论，造成错解。
思路2
例1下列各式中正确的是（）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活动：教师提示，这是一道选择题，本题考查n次方根的运算性质，应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解，既要考虑被开方数，又要考虑根指数，严格按求方根的步骤，体会方根运算的实质，学生先思考哪些地方容易出错，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的运算性质，当n为偶数时，应先写nan=|a|，故A项错。
(2)6(-2)2=3-2，本质上与上题相同，是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，结论为6(-2)2=32，故B项错。
(3)a0=1是有条件的，即a≠0，故C项也错。
(4)D项是一个正数的偶次方根，根据运算顺序也应如此，故D项正确。所以答案选D.
答案：D
点评：本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序，有时极易选错，选四个答案的情况都会有，因此解题时千万要细心。
例2 3+22+3-22=__________.
活动：让同学们积极思考，交流讨论，本题乍一看内容与本节无关，但仔细一想，我们学习的内容是方根，这里是带有双重根号的式子，去掉一层根号，根据方根的运算求出结果是解题的关键，因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了，从何处入手？需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键，教师提示，引导学生解题的思路。
解析：因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
点评：不难看出3-22与3+22形式上有些特点，即是对称根式，是A±2B形式的式子，我们总能找到办法把其化成一个完全平方式。
思考
上面的例2还有别的解法吗？
活动：教师引导，去根号常常利用完全平方公式，有时平方差公式也可，同学们观察两个式子的特点，具有对称性，再考虑并交流讨论，一个是“+”，一个是“-”，去掉一层根号后，相加正好抵消。同时借助平方差，又可去掉根号，因此把两个式子的和看成一个整体，两边平方即可，探讨得另一种解法。
另解：利用整体思想，x=3+22+3-22，
两边平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
点评：对双重二次根式，特别是A±2B形式的式子，我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式，问题迎刃而解，另外对A+2B±A-2B的式子，我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。
变式训练
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范围。
解：因为a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
点评：利用方根的运算性质转化为去绝对值符号，是解题的关键。
知能训练
（教师用多媒体显示在屏幕上）
1、以下说法正确的是（）
A.正数的n次方根是一个正数
B.负数的n次方根是一个负数
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整数集）
答案：C
2、化简下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、计算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
问题：nan=a与(na)n=a(n>1，n∈N)哪一个是恒等式，为什么？请举例说明。
活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n次方根的定义。
通过归纳，得出问题结果，对a是正数和零，n为偶数时，n为奇数时讨论一下。再对a是负数，n为偶数时，n为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意义，则无论n是奇数或偶数，x=na一定是它的一个n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，当n为奇数，当n为偶数。
当n为奇数时，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
当n为偶数时，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有条件的。
点评：实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。
课堂小结
学生仔细交流讨论后，在笔记上写出本节课的学习收获，教师用多媒体显示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整数集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被开方数，n叫根指数。
（1）当n为偶数时，a的n次方根有两个，是互为相反数，正的n次方根用na表示，如果是负数，负的n次方根用-na表示，正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。
(2)n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号na表示。
（3）负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握两个公式：n为奇数时，(na)n=a，n为偶数时，nan=|a|=a，-a，a≥0，a
作业
课本习题2.1A组1.
补充作业：
1、化简下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因为5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：对双重二次根式，我们觉得难以下笔，我们考虑只有在开方的前提下才可能解出，由此提示我们想办法去掉一层根式，
不难看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
设计感想
学生已经学习了数的平方根和立方根，根式的内容是这些内容的推广，本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解，在引入根式的概念时，要结合已学内容，列举具体实例，根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况又分a>0，a
第2课时
作者：郝云静
导入新课
思路1.碳14测年法。原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14，并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织，先为植物吸收，再为动物吸收，只要植物和动物生存着，它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失。对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量，便可推断其年代（半衰期：经过一定的时间，变为原来的一半）。引出本节课题：指数与指数幂的运算之分数指数幂。
思路2.同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的。这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂。
推进新课
新知探究
提出问题
（1）整数指数幂的运算性质是什么？
（2）观察以下式子，并总结出规律：a>0，
①；
②a8=(a4)2=a4=，；
③4a12=4(a3)4=a3=；
④2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的规律，你能表示下列式子吗？
，，，(x>0，m，n∈正整数集，且n>1)。
（4）你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？
（5）你能推广到一般的情形吗？
活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比(2)的规律表示，借鉴(2)(3)，我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他学生鼓励提示。
讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00无意义；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105，82，124，105，形式上变了，本质没变。
根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）。
（3）利用(2)的规律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。
（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示为nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。
综上所述，我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：
规定：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)。
提出问题
（1）负整数指数幂的意义是怎样规定的？
（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？
（3）你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义？
（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？
（5）分数指数幂的意义中，为什么规定a>0，去掉这个规定会产生什么样的后果？
（6）既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？
活动：学生回想初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明a>0的必要性，教师及时作出评价。
讨论结果：(1)负整数指数幂的意义是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然负整数指数幂的意义是这样规定的，类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。
规定：正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
（3）规定：零的分数指数幂的意义是：零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。
（4）教师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是：
正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。
（5）若没有a>0这个条件会怎样呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果，这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时，切记要使底数大于零，如无a>0的条件，比如式子3a2=，同时负数开奇次方是有意义的，负数开奇次方时，应把负号移到根式的外边，然后再按规定化成分数指数幂，也就是说，负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数，而不是负数，负数只是出现在指数上。
（6）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。
有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题，来看下面的例题。
应用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活动：教师引导学生考虑解题的方法，利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式，根据题目要求，把底数写成幂的形式，8写成23,25写成52，12写成2-1，1681写成234，利用有理数幂的运算性质可以解答，完成后，把自己的答案用投影仪展示出来。
解：(1) =22=4;
（2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
（4）=23-3=278.
点评：本例主要考查幂值运算，要按规定来解。在进行幂值运算时，要首先考虑转化为指数运算，而不是首先转化为熟悉的根式运算，如=382=364=4.
例2用分数指数幂的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活动：学生观察、思考，根据解题的顺序，把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算，根式化为分数指数幂时，要由里往外依次进行，把握好运算性质和顺序，学生讨论交流自己的解题步骤，教师评价学生的解题情况，鼓励学生注意总结。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式来表示，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既有分母又有负指数。
例3计算下列各式（式中字母都是正数）。
（1）；
（2）。
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序，再解答，把自己的答案用投影仪展示出来，相互交流，其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算，可以用单项式的乘除法运算顺序进行，要注意符号，第(2)小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算，熟悉后可以简化步骤。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
（2）=m2n-3=m2n3.
点评：分数指数幂不表示相同因式的积，而是根式的另一种写法。有了分数指数幂，就可把根式转化成分数指数幂的形式，用分数指数幂的运算法则进行运算了。
本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。
变式训练
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4计算下列各式：
（1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活动：先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析，化为同底。利用分数指数幂计算，在第(1)小题中，只含有根式，且不是同次根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算，最后写出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能训练
课本本节练习1,2,3
【补充练习】
教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答，教师巡视，启发，对做得好的同学给予表扬鼓励。
1、(1)下列运算中，正确的是（）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意义的是（）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
（4）把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为（）
A. B.
C. D.
（5）化简的结果是（）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、计算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
（2）设5x=4,5y=2，则52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解：。 因为x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因为x 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化简：。 活动：学生观察式子特点，考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路，应对原式进行因式分解，根据本题的特点，注意到： x-1= -13=； x+1= +13=； 。 构建解题思路教师适时启发提示。 解： = = = = 。 点拨：解这类题目，要注意运用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)将，两边平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; （2）将a+a-1=7两边平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; （3）由于， 所以有=a+a-1+1=8. 点拨：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。 课堂小结 活动：教师，本节课同学们有哪些收获？请把你的学习收获记录在你的笔记本上，同学们之间相互交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点： （1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0，m，n∈正整数集，n>1)，零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义。 （2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。 （3）有理数指数幂的运算性质：对任意的有理数r，s，均有下面的运算性质： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 （4）说明两点： ①分数指数幂的意义是一种规定，我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性，其中没有推出关系。 ②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化，也可以利用=am来计算。 作业 课本习题2.1A组2,4. 设计感想 本节课是分数指数幂的意义的引出及应用，分数指数是指数概念的又一次扩充，要让学生反复理解分数指数幂的意义，教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解，用观察、归纳和类比的方法完成，由于是硬性的规定，没有合理的解释，因此多安排一些练习，强化训练，巩固知识，要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。 第3课时 作者：郑芳鸣 导入新课 思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数，这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幂呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数），有理数到实数。并且知道，在有理数到实数的扩充过程中，增添的数是无理数。对无理数指数幂，也是这样扩充而来。既然如此，我们这节课的主要内容是：教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的'运算(3)〕之无理数指数幂。 思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几种简单的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们必须学习实数指数幂的运算性质，为此，我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂，因此我们本节课学习：指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂，教师板书本节课的课题。 推进新课 新知探究 提出问题 （1）我们知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？ （2）多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律？ 2的过剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … （3）你能给上述思想起个名字吗？ （4）一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢？如，根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？ （5）借助上面的结论你能说出一般性的结论吗？ 活动：教师引导，学生回忆，教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解释，可用多媒体显示辅助内容： 问题(1)从近似值的分类来考虑，一方面从大于2的方向，另一方面从小于2的方向。 问题(2)对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联。 问题(3)上述方法实际上是无限接近，最后是逼近。 问题(4)对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释。 问题(5)在(3)(4)的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般。 讨论结果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…这些数都小于2，称2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，这些数都大于2，称2的过剩近似值。 （2）第一个表：从大于2的方向逼近2时，就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。 第二个表：从小于2的方向逼近2时，就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。 从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以说从两个方向无限地接近，即逼近，所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述变化规律变化的结果，事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是一定是一个实数，即51.4 充分表明是一个实数。 （3）逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识。 （4）根据(2)(3)我们可以推断是一个实数，猜测一个正数的无理数次幂是一个实数。 （5）无理数指数幂的意义： 一般地，无理数指数幂aα（a>0，α是无理数）是一个确定的实数。 也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幂，那么，指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。 提出问题 （1）为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数是正数？ （2）无理数指数幂的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幂的运算法则相通呢？ （3）你能给出实数指数幂的运算法则吗？ 活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳。 对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定，举例说明。 对问题（2)结合有理数指数幂的运算法则，既然无理数指数幂aα(a>0，α是无理数）是一个确定的实数，那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似，并且相通。 对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则，实数的运算法则自然就得到了。 讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1还是-1就无法确定了，这样就造成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幂aα是一个确定的实数，就不会再造成混乱。 （2）因为无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则： ①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是无理数）。 ②（ar)s=ars(a>0，r，s都是无理数）。 ③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是无理数）。 （3）指数幂扩充到实数后，指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。 实数指数幂的运算性质： 对任意的实数r，s，均有下面的运算性质： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 应用示例 例1利用函数计算器计算。（精确到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。 活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数值，对于(1)，可先按底数0.3，再按xy键，再按幂指数2.1，最后按=，即可求得它的值； 对于(2)，先按底数3.14，再按xy键，再按负号-键，再按3，最后按=即可； 对于(3)，先按底数3.1，再按xy键，再按3÷4，最后按=即可； 对于(4)，这种无理指数幂，可先按底数3，其次按xy键，再按键，再按3，最后按=键。有时也可按2ndf或shift键，使用键上面的功能去运算。 学生可以相互交流，挖掘计算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值，若保留小数点后n位，只需看第(n+1)位能否进位即可。 例2求值或化简。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； （2）(a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数则应使所化式子达到最简，对既有分数指数幂又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幂的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幂，要紧扣分数指数幂的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幂又有根式，应当统一起来，化为分数指数幂，对(3)有多重根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 点评：根式的运算常常化成幂的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示。 高中三角函数数学教案 篇2 教学准备 1.教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域； 3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性. 教学重点/难点 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学用具 多媒体 4.标签 函数及其表示 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题. 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点； 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域（range）． 注意： ①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． （2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； ②无穷区间； ③区间的数轴表示． （4）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？ 通过三个已知的函数：y=ax+b(a≠0) y=ax2+bx+c(a≠0) y=(k≠0)比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会. 师：归纳总结 （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维。 1、如何求函数的定义域 例1：已知函数f(x)=+ （1）求函数的定义域； （2）求f（－3），f()的值； （3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 例2、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域. 分析：由题意知，另一边长为x，且边长x为正数，所以0＜x＜40. 所以s==（40－x）x（0＜x＜40） 引导学生小结几类函数的定义域： （1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. 2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. （3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. （4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义. 巩固练习：课本P19第1 2、如何判断两个函数是否为同一函数 例3、下列函数中哪个与函数y=x相等？ 分析： 1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 解： 课本P18例2 （四）归纳小结 ①从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念. （五）设置问题，留下悬念 1、课本P24习题1．2（A组）第1—7题（B组）第1题 2、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系. 课堂小结 高中三角函数数学教案 篇3 教学目标： 1．结合实际问题情景，理解分层抽样的`必要性和重要性； 2．学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本； 3．并对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系． 教学重点： 通过实例理解分层抽样的方法． 教学难点： 分层抽样的步骤． 教学过程： 一、问题情境 1．复习简单随机抽样、系统抽样的概念、特征以及适用范围． 2．实例：某校高一、高二和高三年级分别有学生名，为了了解全校学生的视力情况，从中抽取容量为的样本，怎样抽取较为合理？ 二、学生活动 能否用简单随机抽样或系统抽样进行抽样，为什么？ 指出由于不同年级的学生视力状况有一定的差异，用简单随机抽样或系统抽样进行抽样不能准确反映客观实际，在抽样时不仅要使每个个体被抽到的机会相等，还要注意总体中个体的层次性． 由于样本的容量与总体的个体数的比为100∶2500＝1∶25， 所以在各年级抽取的个体数依次是，，，即40，32，28． 三、建构数学 1．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫“层”． 说明：①分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数的比，每一个个体被抽到的可能性都是相等的； ②由于分层抽样充分利用了我们所掌握的信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时可以根据具体情况采取不同的抽样方法，所以分层抽样在实践中有着非常广泛的应用． 2．三种抽样方法对照表： 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽样 抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的 从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少 系统抽样 将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在第一部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多 分层抽样 将总体分成几层，分层进行抽取 各层抽样时采用简单随机抽样或系统 总体由差异明显的几部分组成 3．分层抽样的步骤： （1）分层：将总体按某种特征分成若干部分． （2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比． （3）确定各层应抽取的样本容量． （4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本． 四、数学运用 1．例题． 例1（1）分层抽样中，在每一层进行抽样可用_________________． （2）①教育局督学组到学校检查工作，临时在每个班各抽调2人参加座谈； ②某班期中考试有15人在85分以上，40人在60-84分，1人不及格．现欲从中抽出8人研讨进一步改进教和学； ③某班元旦聚会，要产生两名“幸运者”． 对这三件事，合适的抽样方法为（） A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样 B．系统抽样，系统抽样,简单随机抽样 C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样 例2某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12000人，其中持各种态度的人数如表中所示： 很喜爱 喜爱 一般 不喜爱 2435 4567 3926 1072 电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？ 解：抽取人数与总的比是60∶12000＝1∶200， 则各层抽取的人数依次是12.175，22.835，19.63，5.36， 取近似值得各层人数分别是12，23，20，5． 然后在各层用简单随机抽样方法抽取． 答用分层抽样的方法抽取，抽取“很喜爱”、“喜爱”、“一般”、“不喜爱”的人 数分别为12，23，20，5． 说明：各层的抽取数之和应等于样本容量，对于不能取整数的情况，取其近似值． （3）某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的某意见，拟抽取一个容量为20的样本． 分析：（1）总体容量较小，用抽签法或随机数表法都很方便． （2）总体容量较大，用抽签法或随机数表法都比较麻烦，由于人员没有明显差异，且刚好32排，每排人数相同，可用系统抽样． （3）由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，所以应采用分层抽样方法． 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容： 1．分层抽样的概念与特征； 2．三种抽样方法相互之间的区别与联系． 高中三角函数数学教案 篇4 整体设计 教学分析 本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点. 如何经过变换由正弦函数y=sinx来获取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探索，让学生体会到由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻认识图象变换与函数解析式变换的内在联系. 本节课建议充分利用多媒体，倡导学生自主探究，在教师的引导下，通过图象变换和“五点”作图法，正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在. 三维目标 1.通过学生自主探究，理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响，ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响，A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 2.通过探究图象变换，会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图. 3.通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想.培养学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识，培养学生理解动与静的辩证关系，善于从运动的观点观察问题，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观. 重点难点 教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法. 教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 导入新课 思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如，物体做简谐振动时位移y与时间x的关系，交流电中电流强度y与时间x的关系等，都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 思路2.(直接导入)从解析式来看，函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看，函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来，我们就分别探索φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响. 推进新课 新知探究 提出问题 ①观察交流电电流随时间变化的图象，它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？ ②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值，作出y=sin(x+φ)的图象，看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？ ③请你概括一下如何从正弦曲线出发，经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象. ④你能用上述研究问题的方法，讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的方便，先不妨固定为φ=，从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+). ⑤类似地，你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了研究方便，不妨令ω=2，φ=.此时，可以对A任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系. ⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？ 活动:问题①，教师先引导学生阅读课本开头一段，教师引导学生思考研究问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系，获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的具体认识.然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响，然后再整合. 图1 问题②，由学生作出φ取不同值时，函数y=sin(x+φ)的图象，并探究它与y=sinx的图象的关系，看看是否仍有上述结论.教师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的经验.为了研究的方便，不妨先取φ=，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系.可以发现，对于同一个y值，y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等)，在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况，这说明y=sin(x+)的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx上所有的点向左平移个单位长度而得到的，同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=，用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合. 如果再变换φ的值，类似的情况将不断出现，这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓. 问题③，引导学生通过自己的研究认识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响，并概括出一般结论: y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ 问题④，教师指导学生独立或小组合作进行探究，教师作适当指导.注意提醒学生按照从具体到一般的思路得出结论，具体过程是:(1)以y=sin(x+)为参照，把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较，取点A、B观察.发现规律: 图2 如图2，对于同一个y值，y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当非常认真地对待这个过程，展示多媒体课件，体现伸缩变换过程，引导学生在自己独立思考的基础上给出规律.(2)取ω=，让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、观察和比较图象、讨论等活动，得出结论:把y=sin(x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，就得到y=sin(x+)的图象. 当取ω为其他值时，观察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系，得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.教师指导学生将上述结论一般化，归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系，得出结论: 函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0 图3 问题⑤，教师点拨学生，探索A对图象的影响的过程，与探索ω、φ对图象的影响完全一致，鼓励学生独立完成.学生观察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3，分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B，沿两条曲线同时移动这两点，并使它们的横坐标保持相同，观察它们纵坐标的关系.可以发现，对于同一个x值，函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明，y=3sin(2x+)的图象，可以看作是把y=sin(2x+)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的通过实验可以看到，A取其他值时也有类似的情况.有了前面两个参数的探究，学生得出一般结论: 函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0 由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象变化的影响情况.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象. ⑥引导学生类比得出.其顺序是:先伸缩横坐标(或纵坐标)，再伸缩纵坐标(或横坐标)，最后平移.但学生很容易在第三步出错，可在图象变换时，对比变换，以引起学生注意，并体会一些细节. 由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.教师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想. 讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程，分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响，然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察. ②略. ③图象左右平移，φ影响的是图象与x轴交点的位置关系. ④纵坐标不变，横坐标伸缩，ω影响了图象的形状. ⑤横坐标不变，纵坐标伸缩，A影响了图象的形状. ⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移)，但要注意第三步的平移. y=sinx的图象 得y=Asinx的图象 得y=Asin(ωx)的图象 得y=Asin(ωx+φ)的图象. 规律总结: 先平移后伸缩的步骤程序如下: y=sinx的图象 得y=sin(x+φ)的图象 得y=sin(ωx+φ)的图象 得y=Asin(ωx+φ)的图象. 先伸缩后平移的步骤程序(见上). 应用示例 例1 画出函数y=2sin(x-)的简图. 活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法. (1)引导学生从图象变换的角度来探究，这里的φ＝，ω＝，A＝2，鼓励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上所有点向右平行移动个单位长度，得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象，如图4所示. 图4 (2)学生完成以上变换后，为了进一步掌握图象的变换规律，教师可引导学生作换个顺序的图象变换，要让学生自己独立完成，仔细体会变化的实质. (3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y=2sin(x-)，简图的方法，教师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图，并鼓励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程. 解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为 y=sinxy=sin(x-) y=sin(x-) y=2sin(x-). 方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为 y=sinxy=sinx y=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-). 方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象) 令X=x-，则x=3(X+).列表: X π 2π X 2π 5π Y 2 -2 描点画图，如图5所示. 图5 点评:学生独立完成以上探究后，对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的认识.但教师要强调学生注意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对“单个”x而言，这点是个难点，学生极易出错.对于“五点法”作图，要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换，设X=ωx+φ，再用方程思想由X取0，，π，，2π来确定对应的x值. 变式训练 1.20xx山东威海一模统考，12 要得到函数y=sin(2x+)的图象，只需将函数y=sinx的图象( ) A.向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C.向左平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D.向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 答案:C 2.20xx山东菏泽一模统考，7 要得到函数y=2sin(3x)的图象，只需将函数y＝2sin3x的图象( ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 答案:D 例2 将y=sinx的图象怎样变换得到函数y=2sin(2x+)+1的图象? 活动:可以用两种图象变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x而言的由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是y=sin2(x+)而不是y=sin(2x+)，把y=sin(x+)的图象的横坐标缩小到原来的，得到的函数图象的解析式是y=sin(2x+)，而不是y=sin2(x+). 解:方法一:①把y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，得y=sin(x+)的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得y=sin(2x+)的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y=2sin(2x+)的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图象. 方法二:①把y=sinx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y=2sinx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得y=2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得y=2sin2(x+)的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图象. 点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法，关键是教师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响. 变式训练 1.将y=sin2x的图象怎样变换得到函数y=cos(2x-)的图象? 解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-). 在y=cos(2x-)中以x-a代x，有y=cos［2(x-a)-］=cos(2x-2a-).根据题意，有2x-2a-=2x-，得a=-. 所以将y=sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y=cos(2x-)的图象. 2.如何由函数y=3sin(2x+)的图象得到函数y=sinx的图象？ 方法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+) y=sin(x+)y=sinx. 方法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)y=3sin2x y=sin2xy=sinx. 3.20xx山东高考，4 要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x-)的图象( ) A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 答案:A 知能训练 课本本节练习1、2. 解答: 1.如图6. 点评:第(1)(2)(3)小题分别研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响，第(4)小题则综合研究了这三个参数对y=Asin(ωx+φ)图象的影响. 2.(1)C;(2)B;(3)C. 点评:判定函数y=A1sin(ω1x+φ1)与y=A2sin(ω2x+φ2)的图象间的关系.为了降低难度，在A1与A2，ω1与ω2，φ1与φ2中，每题只有一对数值不同. 课堂小结 1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的认识，使本节的总结成为学生凝练提高的平台. 2.教师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象，并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响，同时通过具体函数的图象的变化，领会由简单到复杂、特殊到一般的化归思想. 作业 1.用图象变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图象画出函数y=sin(-2x)的图象. 2.要得到函数y=cos(2x-)的.图象，只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到? 3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系. 解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x，作图过程: y=sinxy=sin2xy=sin2x. 2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+)， ∴将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可. 3.∵y=cos2x+1， ∴将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得曲线上所有的点向上平移1个单位长度，即可得到曲线y=cos2x+1. 设计感想 1.本节图象较多，学生活动量大，因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象整体变化的影响.这符合新课标精神，符合教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习，合作探究，教师仅是学生主动学习的激发者和引导者. 2.对于函数y=sinx的图象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“顺序”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在，设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同. 3.学习过程是一个认知过程，学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.如果学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构，外部的变量就不能发挥它们的作用，但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习. (设计者:张云全) 第2课时 导入新课 思路1.(直接导入)上一节课中，我们分别探索了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉掌握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课. 思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图，学生动手画图，教师适时的点拨、纠正，并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①在上节课的学习中，用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，列表中最关键的步骤是什么？ ②(1)把函数y＝sin2x的图象向_____平移_____个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；(2)把函数y＝sin3x的图象向_______平移_______个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；(3)如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？ ③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，所得到的曲线是y=sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式. 对这个问题的求解现给出以下三种解法，请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自解法) 甲生:所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度，得到y=sin(x-)的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到y=sin(2x-)，即y=cos2x的图象，∴f(x)=cos2x. 乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=Asin(x+φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y=Asin(x++φ)=sinx，∴A=，=1，+φ=0， 即A=，ω=2，φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x. 丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=Asin(x+φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)= sinx， ∴A=，=1，+φ=0. 解得A=，ω=2，φ=-， ∴f(x)=sin(2x-)=cos2x. 活动:问题①，复习巩固已学三种基本变换，同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”，既复习了旧知识，又为学生准确使用本节课的工具提供必要的保障. 问题②，让学生通过实例综合以上两种变换，再次回顾比较两种方法平移量的区别和导致这一现象的根本原因，以此培养训练学生变换的逆向思维能力，训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力. 问题③，甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=sinx变换到y=f(x)，解答正确.乙、丙两名同学都是采用代换法，即设y=Asin(ωx+φ)，然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式，这种思路清晰，但值得注意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误，就是将y=Asin(x+φ)的图象向左平移个单位长度时，把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+，应该变换成y=Asin[(x+)+φ]，而不是变换成y=Asin(x++φ)，虽然结果一样，但这是巧合，丙同学的解答是正确的 三角函数图象的“逆变换”一定要注意其顺序，比如甲生解题的过程中如果交换了顺序就会出错，故在对这种方法不是很熟练的情况下，用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的，比如乙同学的变换就出现了这种错误. 讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体，令其分别为0， ，π， ，2π. ②(1)右， ；(2)左， ；(3)先y＝sinx的图象左移，再把所有点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变). ③略. 提出问题 ①回忆物理中简谐运动的相关内容，并阅读本章开头的简谐运动的图象，你能说出简谐运动的函数关系吗？ ②回忆物理中简谐运动的相关内容，回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、φ有何关系. 活动:教师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究，建立与物理知识的联系，了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系，得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离;这个简谐运动的周期是T=，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间;这个简谐运动的频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相. 讨论结果:①y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0. ②略. 应用示例 例1 图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少? (2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式. 图7 活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.教师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提醒学生注意本课开始时探讨的知识，思考y=Asin(ωx+φ)中的参数φ、ω、A在图象上是怎样反映的，要解决这个问题，关键要抓住什么.关键是搞清φ、ω、A等参数在图象上是如何得到反映的让学生明确解题思路，是由形到数地解决问题，学会数形结合地处理问题.完成解题后，教师引导学生进行反思学习过程，概括出研究函数y=Asin(ωx+φ)的图象的思想方法，找两名学生阐述思想方法，教师作点评、补充. 解:(1)从图象上可以看到，这个简谐运动的振幅为2 cm;周期为0.8 s;频率为. (2)如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动;如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动. (3)设这个简谐运动的函数表达式为y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)， 那么A=2;由=0.8，得ω=;由图象知初相φ=0. 于是所求函数表达式是y=2sinx，x∈［0，+∞). 点评:本例的实质是由函数图象求函数解析式，要抓住关键点.应用数学中重要的思想方法——数形结合的思想方法，应让学生熟练地掌握这种方法. 变式训练 函数y=6sin(x-)的振幅是，周期是____________，频率是____________，初相是___________，图象最高点的坐标是_______________. 解:6 8π (8kπ+，6)(k∈Z) 例2 若函数y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)在其一个周期内的图象上有一个最高点(，3)和一个最低点(，-5)，求这个函数的解析式. 活动:让学生自主探究题目中给出的条件，本例中给出的实际上是一个图象，它的解析式为y=Asin(ωx+φ)+B(其中A>0，ω>0)，这是学生未遇到过的教师应引导学生思考它与y=Asin(ωx+φ)的图象的关系，它只是把y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象向上(B>0)或向下(B 解:由已知条件，知ymax=3，ymin=-5， 则A=(ymax-ymin)=4，B= (ymax+ymin)=-1，=-=. ∴T=π，得ω=2. 故有y=4sin(2x+φ)-1. 由于点(，3)在函数的图象上，故有3=4sin(2×+φ)-1， 即sin(+φ)=1.一般要求|φ| 故所求函数的解析式为y=4sin(2x+)-1. 点拨:这是数形结合的又一典型应用，应让学生明了，题中无图但脑中应有图或根据题意画出草图，结合图象可直接求得A、ω，进而求得初相φ，但要注意初相φ的确定.求初相也是这节课的一个难点. 变式训练 已知函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)一个周期的图象如图8所示，求函数的解析式. 解:根据“五点法”的作图规律，认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点，而选择对应的方程ωxi+φ=0，，π，，2π(i=1，2，3，4，5)，得出φ的值. 方法一:由图知A=2，T=3π， 由=3π，得ω=，∴y=2sin(x+φ). 由“五点法”知，第一个零点为(，0)， ∴·+φ=0荭=-， 故y=2sin(x-). 方法二:得到y=2sin(x+φ)同方法一. 由图象并结合“五点法”可知，(，0)为第一个零点，(，0)为第二个零点. ∴·+φ=π荭=. ∴y=2sin(x-). 点评:要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法，然后再利用ωx1+φ=0或ωx2+φ=π求出φ. 2.20xx海南高考，3函数y=sin(2x-)在区间［，π］上的简图是( ) 图9 答案:A 知能训练 课本本节练习3、4. 3.振幅为，周期为4π，频率为.先将正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度，再在纵坐标保持不变的情况下将各点的横坐标伸长到原来的2倍，最后在横坐标保持不变的情况下将各点的纵坐标缩短到原来的倍. 点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系. 4..把正弦曲线在区间［，+∞)的部分向左平行移动个单位长度，就可得到函数y=sin(x+)，x∈［0，+∞)的图象. 点评:了解简谐运动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=sin(x+φ)的图象与正弦曲线的关系. 课堂小结 1.由学生自己回顾本节学习的数学知识:简谐运动的有关概念.本节学习的数学方法:由简单到复杂、特殊到一般、具体到抽象的化归思想，数形结合思想，待定系数法，数学的应用价值. 2.三角函数图象变换问题的常规题型是:已知函数和变换方法，求变换后的函数或图象，这种题目的解题的思路是:如果函数同名则按两种变换方法的步骤进行即可；如果函数不同名，则将异名函数化为同名函数，且需x的系数相同.左右平移时，如果x前面的系数不是1，需将x前面的系数提出，特别是给出图象确定解析式y=Asin(ωx+φ)的题型.有时从寻找“五点法”中的第一零点(，0)作为突破口，一定要从图象的升降情况找准第一零点的位置. 作业 把函数y=cos(3x+)的图象适当变动就可以得到y=sin(-3x)的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移 解:∵y=cos(3x+)=sin(-3x)=sin[-3(x-)]， ∴由y=sin[-3(x-)]向左平移才能得到y=sin(-3x)的图象. 答案:D 点评:本题需逆推，教师在作业讲评时应注意加强学生逆向思维的训练.如本题中的-3x需写成-3(x-)，这样才能确保平移变换的正确性. 设计感想 1.本节课符合新课改精神，突出体现了以学生能力的发展为主线，应用启发式、讲述式引导学生层层深入，培养学生自主探索及发现问题、分析问题和解决问题的能力.注重利用非智力因素促进学生的学习，实现数学知识价值、思维价值和人文价值的高度统一. 2.由于本节内容综合性强，所以本节教案设计的指导思想是:在教师的引导下，让学生积极、主动地提出问题，自主分析，再合作交流，达到殊途同归.在思维训练的过程中，感受数学知识的魅力，成为学习的主人.新课改要求教师在新的教学理念下，要勇于，更要善于把问题抛给学生，激发学生探求知识的强烈欲望和创新意识.教学的目的是以知识为平台，全面提升学生的综合能力. 高中三角函数数学教案 篇5 【课题名称】 《等差数列》的导入 【授课年级】 高中二年级 【教学重点】 理解等差数列的概念，能够运用等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列。 【教学难点】 等差数列的性质、等差数列“等差”特点的理解， 【教具准备】多媒体课件、投影仪 【三维目标】 ㈠知识目标： 了解公差的概念，明确一个等差数列的限定条件，能根据定义判断一个等差数列是否是一个等差数列； ㈡能力目标： 通过寻找等差数列的共同特征，培养学生的观察力以及归纳推理的能力； ㈢情感目标： 通过对等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力。 【教学过程】 导入新课 师：上两节课我们已经学习了数列的定义以及给出表示数列的几种方法—列举法、通项法，递推公式、图像法。这些方法分别从不同的角度反映了数列的特点。下面我们观察以下的几个数列的例子： (1)我们经常这样数数，从0开始，每个5个数可以得到数列：0,5,10,15,20,() (2)2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目，该项目工设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成的数列（单位：kg）为48,53,58,63,()试问第五个级别体重多少？ (3)为了保证优质鱼类有良好的生活环境，水库管理员定期放水清库以清除水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。即可得到一个数列：18,15.5,13,10.5,8，（），则第六个数应为多少？ (4)10072,10144,10216,(),10360 请同学们回答以上的四个问题 生：第一个数列的第6项为25，第二个数列的第5个数为68，第三个数列的第6个数为5.5，第四个数列的第4个数为10288。 师：我来问一下，你是依据什么得到了这几个数的呢？请以第二个数列为例说明一下。 生：第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律我就得到了这个数列的第5个数为68. 师：说的很好！同学们再仔细地观察一下以上的四个数列，看看以上的四个数列是否有什么共同特征？请注意，是共同特征。 生1：相邻的两项的差都等于同一个常数。 师：很好！那作差是否有顺序？是否可以颠倒？ 生2：作差的顺序是后项减去前项，不能颠倒！ 师：正如生1的总结，这四个数列有共同的特征：从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数（即等差）。我们叫这样的数列为等差数列。这就是我们这节课要研究的内容。 推进新课 等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。从刚才的分析，同学们应该注意公差d一定是由后项减前项。 师：有哪个同学知道定义中的关键字是什么？ 生2：“从第二项起”和“同一个常数” 高中三角函数数学教案 篇6 教学目标： 1．理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数； 2．理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数； 3．能够综合运用各种法则求函数的导数． 教学重点： 函数的和、差、积、商的求导法则的推导与应用． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境． （1）常见函数的导数公式：（默写） （2）求下列函数的导数：； ； ． （3）由定义求导数的基本步骤（三步法）． 2．探究活动． 例1 求的导数． 思考 已知，怎样求呢？ 二、建构数学 函数的和差积商的导数求导法则： 三、数学运用 练习 课本P22练习1～5题． 点评：正确运用函数的四则运算的求导法则． 四、拓展探究 点评 求导数前的变形，目的在于简化运算；如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数后应对结果进行整理化简． 五、回顾小结 函数的和差积商的导数求导法则． 六、课外作业 1．见课本P26习题1.2第1，2，5～7题． 2．补充：已知点P(－1，1)，点Q(2，4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 高中三角函数数学教案 篇7 教学目标： 1、使学生了解角的形成，理解角的概念掌握角的各种表示法； 2、通过观察、操作培养学生的观察能力和动手操作能力。 3、使学生掌握度、分、秒的进位制,会作度、分、秒间的单位互化 4、采用自学与小组合作学习相结合的方法，培养学生主动参与、勇于探究的精神。 教学重点： 理解角的概念，掌握角的三种表示方法 教学难点： 掌握度、分、秒的进位制, ,会作度、分、秒间的单位互化 教学手段： 教具：电脑课件、实物投影、量角器 学具：量角器需测量的角 教学过程： 一、建立角的概念 （一）引入角（利用课件演示） 1、从生活中引入 提问： A、以前我们曾经认识过角，那你们能从这两个图形中指出哪些地方是角吗？ B、在我们的生活当中存在着许许多多的角。一起看一看。谁能从这些常用的物品中找出角？ 2、从射线引入 提问： A、昨天我们认识了射线，想从一点可以引出多少条射线？ B、如果从一点出发任意取两条射线，那出现的是什么图形？ C、哪两条射线可以组成一个角？谁来指一指。 （二）认识角，总结角的定义 3、 过渡：角是怎么形成的呢？一起看 （1）、演示：老师在这画上一个点，现在从这点出发引出一条射线，再从这点出发引出第二条射线。 提问：观察从这点引出了几条射线？此时所组成的图形是什么图形？ （2）、判断下列哪些图形是角。 （√） （×） （√） （×） （√） 为何第二幅和第四幅图形不是角？（学生回答） 谁能用自己的话来概括一下怎样组成的图形叫做角？ 总结：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角（angle） 角的第二定义：角也可以看做由一条射线绕端点旋转所形成的图形.如下图中的角，可以看做射线OA绕端点0按逆时针方向旋转到OB所形成的我们把OA叫做角的始边，OB叫做角的终边. B 0 A 4、认识角的各部分名称，明确顶点、边的作用 （1）观看角的图形提问：这个点叫什么？这两条射线叫什么？（学生边说师边标名称） （2）角可以画在本上、黑板上，那角的位置是由谁决定的? （3）顶点可以确定角的位置，从顶点引出的两条边可以组成一个角。 5、学会用符号表示角 提问：那么,角的符号是什么?该怎么写,怎么读的呢?(电脑显示) （1）可以标上三个大写字母,写作:∠ABC或∠CBA,读作:角ABC或角CBA. （2）观察这两种方法,有什么特点?(字母B都在中间) （3）所以,在只有一个角的时候,我们还可以写作: ∠B,读作:角B （4）为了方便,有时我们还可以标上数字,写作∠1,读作:角1 （5）注:区别 “∠”和“ 6、强调角的大小与两边张开的程度有关，与两条边的长短无关。 二、 角的度量 1、学习角的度量 （1）教学生认识量角器 (2) 认识了量角器，那怎样使用它去测量角的度数呢？这部分知识请同学们合作学习。 提出要求：小组合作边学习测量方法边尝试测量 第一个角，想想有几种方法？ 1、要求合作学习探究、测量。 2、反馈汇报：学生边演示边复述过程 3、教师利用课件演示正确的操作过程，纠正学生中存在的问题。 4、归纳概括测量方法（两重合一对） （1）用量角器的中心点与角的顶点重合 （2）零刻度线与角的一边重合（可与内零度刻度线重合；也可与外零度刻度线重合） （3）另一条边所对的角的度数，就是这个角的度数。 5、小结：同一个角无论是用内刻度量角，还是用外刻度量角，结果都一样。 6、独立练习测量角的度数（书做一做中第一题1，3与第二题） （1） 独立测量，师注意查看学生中存在的问题。 （2） 课件演示纠正问题 三、度、分、秒的进位制及这些单位间的互化 为了更精细地度量角，我们引入更小的角度单位：分、秒.把1°的角等分成60份，每份叫做1分记作1′；把1′的角再等分成60份，每份叫做1秒的角，1秒记作1″. 1°=60′，1′=60″； 1′=（ ）°，1″=（ ）′. 例1 将57.32°用度、分、秒表示. 解：先把0.32°化为分， 0.32°=60′×0.32=19.2′. 再把0.2′化为秒， 0.2′=60″×0.2=12″. 所以 57.32″=57°19′12″. 例2 把10°6′36″用度表示. 解：先把36″化为分， 36″=（ ）′×36=0.6′ 6′+0.6′=6.6′. 再把6.6′化为度， 6.6′=（ ）°×6.6=0.11°. 所以 10°6′36″=10.11°. 四、巩固练习 课本P122练习 五、总结：请大家回忆一下，今天都学了那些知识，通过学习你想说些什么？ 六、作业：课本P123 3、4.（1）（3）、5.（2）（4）
